与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y=(2x-3)^6$ (2) $y=\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^4$ (3) $y=\sqrt[3]{x^3+4x+1}$ (4) $y=\frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}}$ (5) $y=\sqrt[4]{x^7}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y=(2x-3)^6$

(2) $y=\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^4$

(3) $y=\sqrt[3]{x^3+4x+1}$

(4) $y=\frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}}$

(5) $y=\sqrt[4]{x^7}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を使用します。$u=2x-3$ とおくと、$y=u^6$。$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du}=6u^5$、$\frac{du}{dx}=2$ なので、

$\frac{dy}{dx}=6(2x-3)^5 \cdot 2 = 12(2x-3)^5$

(2) 合成関数の微分法と商の微分法を使用します。$u = \frac{x^3}{2x+5}$ とおくと、$y = u^4$。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{3x^2(2x+5) - x^3(2)}{(2x+5)^2} = \frac{6x^3+15x^2-2x^3}{(2x+5)^2} = \frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 4\left(\frac{x^3}{2x+5}\right)^3 \cdot \frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2} = \frac{4x^9(4x^3+15x^2)}{(2x+5)^5} = \frac{4x^{11}(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) 合成関数の微分法を使用します。$u=x^3+4x+1$ とおくと、$y = \sqrt[3]{u} = u^{\frac{1}{3}}$。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2+4$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^3+4x+1)^{-\frac{2}{3}}(3x^2+4) = \frac{3x^2+4}{3\sqrt[3]{(x^3+4x+1)^2}}$

(4) 商の微分法と合成関数の微分法を使用します。$y = \frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}}$。$u = 2x+1$, $v = \sqrt{3x+1}=(3x+1)^{\frac{1}{2}}$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u' = 2$, $v' = \frac{1}{2}(3x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{3x+1} - (2x+1)\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}}{3x+1} = \frac{4(3x+1)-3(2x+1)}{2(3x+1)\sqrt{3x+1}} = \frac{12x+4-6x-3}{2(3x+1)\sqrt{3x+1}} = \frac{6x+1}{2(3x+1)\sqrt{3x+1}} = \frac{6x+1}{2(3x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y = \sqrt[4]{x^7} = x^{\frac{7}{4}}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{7}{4}x^{\frac{7}{4}-1} = \frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $12(2x-3)^5$

(2) $\frac{4x^{11}(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) $\frac{3x^2+4}{3\sqrt[3]{(x^3+4x+1)^2}}$

(4) $\frac{6x+1}{2(3x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $\frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}$