与えられた変数分離形の微分方程式の初期値問題を解きます。微分方程式は $(x^2+1)y' = xy$ であり、初期条件は $y(0) = 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた変数分離形の微分方程式の初期値問題を解きます。微分方程式は $(x^2+1)y' = xy$ であり、初期条件は $y(0) = 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を変数分離形にします。$y' = \frac{dy}{dx}$ と書き換えると、

$(x^2+1)\frac{dy}{dx} = xy$

$\frac{dy}{y} = \frac{x}{x^2+1} dx$

次に、両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x}{x^2+1} dx$

左辺の積分は $\int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1$ です。

右辺の積分は、置換積分法を用いて計算します。$u = x^2+1$ とすると、$du = 2x dx$ なので、

$\int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C_2$

したがって、

$\ln|y| = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C$

ここで、$C = C_2 - C_1$ とおきました。

両辺を指数関数で変換すると、

$|y| = e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C} = e^C e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1)} = e^C \sqrt{x^2+1}$

$y = A \sqrt{x^2+1}$

ここで、$A = \pm e^C$ とおきました。

初期条件 $y(0) = 1$ を適用すると、

$1 = A \sqrt{0^2+1} = A$

したがって、$A = 1$ となり、

$y = \sqrt{x^2+1}$

3. 最終的な答え

$y = \sqrt{x^2+1}$