数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が $\sum_{k=1}^n a_k = n^2$ と $\sum_{k=1}^n b_k = 2^n$ を満たすとき、$\sum_{k=1}^n (a_k)^2$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が $\sum_{k=1}^n a_k = n^2$ と $\sum_{k=1}^n b_k = 2^n$ を満たすとき、$\sum_{k=1}^n (a_k)^2$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_k$ を求めます。$\sum_{k=1}^n a_k = n^2$ であるので、

$n \geq 2$ のとき、$a_n = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \sum_{k=1}^1 a_k = 1^2 = 1$.

$a_n = 2n-1$ は $n=1$ のときも成立するので、$a_n = 2n-1$ となります。

次に、$\sum_{k=1}^n (a_k)^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1) = 4 \sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3} = \frac{n[2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3]}{3} = \frac{n[4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3]}{3} = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$