4桁の整数 $\overline{abc6}$ が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$ が最大となるのはどれか。ここで、$a, b, c$ は1桁の整数である。選択肢は、6, 9, 12, 15, 18 である。

1. 問題の内容

4桁の整数 $\overline{abc6}$ が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$ が最大となるのはどれか。ここで、$a, b, c$ は1桁の整数である。選択肢は、6, 9, 12, 15, 18 である。

2. 解き方の手順

まず、3, 7, 11のいずれでも割り切れるということは、これらの最小公倍数で割り切れる可能性がある。3, 7, 11は互いに素なので、最小公倍数は $3 \times 7 \times 11 = 231$ となる。

よって、$\overline{abc6}$ は3, 7, 11のいずれかで割り切れる。言い換えると、231の倍数であるか、3の倍数、7の倍数、11の倍数のいずれかである。

ここでは、3, 7, 11の最小公倍数231の倍数について調べる。

4桁の整数を考えると、$231 \times 5 = 1155$, $231 \times 6 = 1386$, $231 \times 7 = 1617$, $231 \times 8 = 1848$, $231 \times 9 = 2079$, $231 \times 10 = 2310$, $231 \times 11 = 2541$, $231 \times 12 = 2772$, $231 \times 13 = 3003$, $231 \times 14 = 3234$, $231 \times 15 = 3465$, $231 \times 16 = 3696$, $231 \times 17 = 3927$, $231 \times 18 = 4158$, $231 \times 19 = 4389$, $231 \times 20 = 4620$, $231 \times 21 = 4851$, $231 \times 22 = 5082$, $231 \times 23 = 5313$, $231 \times 24 = 5544$, $231 \times 25 = 5775$, $231 \times 26 = 6006$, $231 \times 27 = 6237$, $231 \times 28 = 6468$, $231 \times 29 = 6699$, $231 \times 30 = 6930$, $231 \times 31 = 7161$, $231 \times 32 = 7392$, $231 \times 33 = 7623$, $231 \times 34 = 7854$, $231 \times 35 = 8085$, $231 \times 36 = 8316$, $231 \times 37 = 8547$, $231 \times 38 = 8778$, $231 \times 39 = 9009$, $231 \times 40 = 9240$, $231 \times 41 = 9471$, $231 \times 42 = 9702$, $231 \times 43 = 9933$.

一の位が6であるものを探すと、3696, 8316がある。

3696の場合、$a+b+c = 3+6+9 = 18$.

8316の場合、$a+b+c = 8+3+1 = 12$.

次に3, 7, 11の倍数で割り切れるかどうか調べる。

例えば、$\overline{9996}$という数を考えると、3の倍数ではあるが、7の倍数でも11の倍数でもない。

18は選択肢にあるので、これが答えの候補となる。

3. 最終的な答え

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