双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ (ただし、$x \geq 0$) の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ (ただし、$x \geq 0$) の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sinh x$ とおく。逆関数を求めるためには、$x$ を $y$ で表す必要がある。

$y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ より、

$2y = e^x - e^{-x}$

両辺に $e^x$ をかけると、

$2ye^x = (e^x)^2 - 1$

$(e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0$

ここで、$e^x = t$ とおくと、$t^2 - 2yt - 1 = 0$ となる。

この $t$ についての二次方程式を解くと、

$t = \frac{2y \pm \sqrt{(2y)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 + 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$

ここで、$t = e^x$ であり、$x \geq 0$ より $e^x \geq 1$ である必要がある。

また、$\sqrt{y^2 + 1} > |y|$ であるから、$y - \sqrt{y^2 + 1} < 0$ となる。

したがって、$t = e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$ でなければならない。

両辺の自然対数をとると、

$x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$

これが逆関数である。逆関数を $f^{-1}(x)$ と表すと、

$f^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

3. 最終的な答え

$\sinh x$ (ただし、$x \geq 0$) の逆関数は、

$f^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

である。