Aの袋には赤球2個と白球3個、Bの袋には赤球4個と白球3個が入っている。AとBがそれぞれ2個ずつ球を取り出し、合計4個の球の色が全て同じであれば試行を終了する。 (1) 1回目の試行でAが取り出す球が2個とも赤球である確率を求める。 (2) 試行が1回で終了する確率を求める。 (3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求める。 (4) 試行が3回以上続く確率を求める。

1. 問題の内容

Aの袋には赤球2個と白球3個、Bの袋には赤球4個と白球3個が入っている。AとBがそれぞれ2個ずつ球を取り出し、合計4個の球の色が全て同じであれば試行を終了する。

(1) 1回目の試行でAが取り出す球が2個とも赤球である確率を求める。

(2) 試行が1回で終了する確率を求める。

(3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求める。

(4) 試行が3回以上続く確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが2個とも赤球を取り出す確率

Aの袋には5個の球があり、そのうち2個が赤球である。2個とも赤球を取り出す確率は、組み合わせの考え方を用いると、以下のようになる。

$P(Aが2個とも赤) = \frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{\frac{5 \times 4}{2 \times 1}} = \frac{1}{10}$

(2) 試行が1回で終了する確率

試行が1回で終了するのは、4個とも赤球であるか、4個とも白球であるかのいずれかである。

Aが赤球2個、Bが赤球2個を取り出す確率:

$P(Aが赤2個) = \frac{1}{10}$ (上記参照)

$P(Bが赤2個) = \frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

$P(4個とも赤) = \frac{1}{10} \times \frac{2}{7} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$

Aが白球2個、Bが白球2個を取り出す確率:

$P(Aが白2個) = \frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

$P(Bが白2個) = \frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

$P(4個とも白) = \frac{3}{10} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{70}$

試行が1回で終了する確率:

$P(1回で終了) = P(4個とも赤) + P(4個とも白) = \frac{1}{35} + \frac{3}{70} = \frac{2}{70} + \frac{3}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$

(3) 試行がちょうど2回で終了する確率

試行が2回で終了するのは、1回目に終了せず、2回目に終了する場合である。

1回目に終了しない確率は、$1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$

2回目に終了する確率は、$\frac{1}{14}$

したがって、試行がちょうど2回で終了する確率は、$\frac{13}{14} \times \frac{1}{14} = \frac{13}{196}$

(4) 試行が3回以上続く確率

試行が3回以上続く確率は、1回目も2回目も終了しない確率である。つまり、1回目も2回目も継続する確率である。

1回目も2回目も終了しない確率は、$\frac{13}{14} \times \frac{13}{14} = \frac{169}{196}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{1}{14}$

(3) $\frac{13}{196}$

(4) $\frac{169}{196}$