自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ が3の倍数であることを数学的帰納法で証明します。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ が3の倍数であることを数学的帰納法で証明します。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき

$4^1 - 1 = 4 - 1 = 3$ となり、3の倍数であるため、$n=1$ のとき命題は成り立ちます。

(2) $n = k$ のとき、$4^k - 1$ が3の倍数であると仮定します。つまり、$4^k - 1 = 3m$（$m$ は整数）と表せると仮定します。

(3) $n = k+1$ のとき、$4^{k+1} - 1$ が3の倍数であることを示す必要があります。

$4^{k+1} - 1$ を式変形します。

$4^{k+1} - 1 = 4 \cdot 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 4 - 1 = 4(4^k - 1) + 3$

仮定より $4^k - 1 = 3m$ なので、

$4^{k+1} - 1 = 4(3m) + 3 = 3(4m + 1)$

$4m + 1$ は整数なので、$3(4m + 1)$ は3の倍数です。

したがって、$n = k+1$ のときも、$4^{k+1} - 1$ は3の倍数となります。

(4) 以上 (1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ は3の倍数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$4^n - 1$ は3の倍数である。