4桁の整数 $abc6$ が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$ が最大となるのはどれか。ここで、$a, b, c$ は1桁の整数である。

1. 問題の内容

4桁の整数 $abc6$ が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$ が最大となるのはどれか。ここで、$a, b, c$ は1桁の整数である。

2. 解き方の手順

3, 7, 11のいずれでも割り切れるということは、3 x 7 x 11 = 231 の倍数である。したがって、$abc6$ は 231 の倍数である。

$abc6 = 1000a + 100b + 10c + 6$と表せる。

$abc6 = 231k$ ($k$ は整数) となる。

$abc6$ は4桁の数なので、$1000 \le abc6 \le 9999$。よって、$1000 \le 231k \le 9999$ となる。

この不等式を解くと、$1000/231 \le k \le 9999/231$ より、$4.32 \le k \le 43.28$ となる。

$k$ は整数なので、$5 \le k \le 43$。

$abc6 = 231k$ なので、$abc6 \equiv 6 \pmod{10}$ を満たす $k$ を探す。

$231k \equiv k \pmod{10}$ であるから、$k \equiv 6 \pmod{10}$。

$k$ の候補は、6, 16, 26, 36 である。

* $k=6$ のとき、$231 \times 6 = 1386$ なので、$a=1, b=3, c=8$ となり、$a+b+c = 1+3+8=12$。

* $k=16$ のとき、$231 \times 16 = 3696$ なので、$a=3, b=6, c=9$ となり、$a+b+c = 3+6+9=18$。

* $k=26$ のとき、$231 \times 26 = 6006$ なので、$a=6, b=0, c=0$ となり、$a+b+c = 6+0+0=6$。

* $k=36$ のとき、$231 \times 36 = 8316$ なので、$a=8, b=3, c=1$ となり、$a+b+c = 8+3+1=12$。

$a+b+c$ の最大値は18。

3. 最終的な答え

5. 18