関数 $x^2 \cos x$ の不定積分を部分積分を用いて計算する。

1. 問題の内容

関数 $x^2 \cos x$ の不定積分を部分積分を用いて計算する。

2. 解き方の手順

(i) $f = x^2$, $g' = \cos x$ とおく。

$g = \int \cos x \, dx = \sin x$

(ii) $f' = (x^2)' = 2x$

(iii) 部分積分の公式 $\int f g' \, dx = fg - \int f'g \, dx$ にこれまでの計算を当てはめる。

$\int x^2 \cos x \, dx = \int x^2 (\sin x)' \, dx = x^2 \sin x - \int (x^2)' \sin x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx$

(iv) $\int 2x \sin x \, dx$ を部分積分を用いて計算する。

$u = 2x$, $v' = \sin x$ とおくと、$u' = 2$, $v = -\cos x$。

$\int 2x \sin x \, dx = \int 2x (-\cos x)' \, dx = 2x(-\cos x) - \int (2x)' (-\cos x) \, dx = -2x \cos x - \int 2 (-\cos x) \, dx = -2x \cos x + 2 \int \cos x \, dx = -2x \cos x + 2 \sin x + C$

したがって、

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - (-2x \cos x + 2 \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$