4桁の整数 $abc6$ が与えられており、$a, b, c$ は1桁の整数です。この整数が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$ が最大となるのはどの選択肢か。

1. 問題の内容

4桁の整数 $abc6$ が与えられており、$a, b, c$ は1桁の整数です。この整数が3, 7, 11のいずれでも割り切れるとき、$a+b+c$ が最大となるのはどの選択肢か。

2. 解き方の手順

まず、3, 7, 11の最小公倍数を考えます。$3 \times 7 \times 11 = 231$ です。したがって、$abc6$ は231の倍数である必要があります。

次に、$abc6$ の形から、$1000 \leq abc6 \leq 9996$ であることがわかります。

$abc6 = 1000a + 100b + 10c + 6$

$abc6$ が231の倍数であることから、$abc6 = 231n$ と表せます。ここで $n$ は整数です。

$1000 \leq 231n \leq 9996$ より、$1000/231 \leq n \leq 9996/231$ となり、約 $4.33 \leq n \leq 43.27$ であるため、$5 \leq n \leq 43$ です。

$n$ を大きくしていくと、$a+b+c$ の値も大きくなる可能性があります。

$231 \times 43 = 9933$ となり、この場合末尾が3なので条件を満たしません。

以下、43から順に小さくしていき、$231n$ の末尾が6となるものを探します。

$231 \times n$ が6で終わるためには、$n$ の末尾が6である必要があります。

$n=36$ のとき、$231 \times 36 = 8316$。このとき、$a+b+c = 8+3+1 = 12$。

$n=26$ のとき、$231 \times 26 = 6006$。このとき、$a+b+c = 6+0+0 = 6$。

$n=16$ のとき、$231 \times 16 = 3696$。このとき、$a+b+c = 3+6+9 = 18$。

$n=6$ のとき、$231 \times 6 = 1386$。このとき、$a+b+c = 1+3+8 = 12$。

これらの結果から、$a+b+c$ の最大値は 18 であることがわかります。

3. 最終的な答え

5 18