6で割ると4余り、7で割ると5余り、8で割ると6余る正の整数のうち、最も小さいものの各桁の数字の和を求める問題です。

1. 問題の内容

6で割ると4余り、7で割ると5余り、8で割ると6余る正の整数のうち、最も小さいものの各桁の数字の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める整数を$x$とします。問題文より、以下の3つの式が成り立ちます。

$x \equiv 4 \pmod{6}$

$x \equiv 5 \pmod{7}$

$x \equiv 6 \pmod{8}$

3つ目の式から、$x = 8k + 6$ （$k$は整数）と表せます。これを1つ目の式に代入すると、

$8k + 6 \equiv 4 \pmod{6}$

$2k \equiv -2 \equiv 4 \pmod{6}$

$k \equiv 2 \pmod{3}$

したがって、$k = 3l + 2$ （$l$は整数）と表せます。

これを$x = 8k + 6$に代入すると、

$x = 8(3l + 2) + 6 = 24l + 16 + 6 = 24l + 22$

これを2つ目の式に代入すると、

$24l + 22 \equiv 5 \pmod{7}$

$3l + 1 \equiv 5 \pmod{7}$

$3l \equiv 4 \pmod{7}$

$3l \equiv 4 + 7 + 7 = 18 \pmod{7}$

$l \equiv 6 \pmod{7}$

したがって、$l = 7m + 6$ （$m$は整数）と表せます。

これを$x = 24l + 22$に代入すると、

$x = 24(7m + 6) + 22 = 168m + 144 + 22 = 168m + 166$

$m = 0$のとき、$x = 166$

これは正の整数であり、条件を満たします。

$166$の各桁の数字の和は、$1 + 6 + 6 = 13$です。

3. 最終的な答え

13