問題は2つあります。 (1) 関数 $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x$ について、x切片(y=0の値)とy切片(x=0の値)を求め、極値を取るxの値と極値(極大値、極小値)を求める。 (2) 関数 $y = f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ について、グラフを描き、x切片(y=0のとき)とy切片(x=0のとき)の値をグラフに記載し、x=0における接線を記入し、その方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x$ について、x切片(y=0の値)とy切片(x=0の値)を求め、極値を取るxの値と極値(極大値、極小値)を求める。

(2) 関数 $y = f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ について、グラフを描き、x切片(y=0のとき)とy切片(x=0のとき)の値をグラフに記載し、x=0における接線を記入し、その方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x$ について

* y切片(x=0の値):

$f(0) = (0^2 - 2\cdot0 - 2)e^0 = -2\cdot1 = -2$

* x切片(y=0の値):

$f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x = 0$。$e^x$ は常に正なので、$x^2 - 2x - 2 = 0$を解けば良い。

解の公式より、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$。

したがって、$x = 1 + \sqrt{3}$ と $x = 1 - \sqrt{3}$。

* 極値:

$f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x - 2)e^x = (x^2)e^x - 4e^x$

$f'(x) = (x^2 - 4)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは $x^2 - 4 = 0$ の時なので、$x = \pm 2$。

$f''(x) = 2xe^x + (x^2-4)e^x = (x^2+2x-4)e^x$

$f''(2) = (4+4-4)e^2 = 4e^2 > 0$ より、$x=2$で極小値を取る。

$f''(-2) = (4-4-4)e^{-2} = -4e^{-2} < 0$ より、$x=-2$で極大値を取る。

極小値は $f(2) = (4 - 4 - 2)e^2 = -2e^2$。

極大値は $f(-2) = (4 + 4 - 2)e^{-2} = 6e^{-2}$。

(2) 関数 $y = f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ について

* y切片(x=0のとき): $f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 - 0 + 2 = 2$。

* x切片(y=0のとき): $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$。

$x^2(x-2) - (x-2) = (x^2 - 1)(x-2) = (x-1)(x+1)(x-2) = 0$

よって $x = 1, -1, 2$。

* x=0における接線:

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 1$

$f'(0) = -1$

x=0における接線は、$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$。

$y - 2 = -1(x - 0)$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x$ について

* y切片: -2

* x切片: $1 + \sqrt{3}$, $1 - \sqrt{3}$

* 極大値: x = -2 のとき $6e^{-2}$

* 極小値: x = 2 のとき $-2e^2$

(2) 関数 $y = f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ について

* y切片: 2

* x切片: 1, -1, 2

* x=0における接線の方程式: $y = -x + 2$