複素数 $\alpha$ について、$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ が実数であることを証明する。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ について、$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ が実数であることを証明する。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は、$z = \overline{z}$ であることを利用する。

$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ が実数であることを示すために、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ の共役複素数を求め、それが $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ に等しいことを示す。

まず、$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}}$ を計算する。

共役複素数の性質より、

$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}} = \overline{\alpha^2} + \overline{\frac{1}{\alpha^2}}$

$\overline{\alpha^2} = (\overline{\alpha})^2$ より、

$\overline{\alpha^2} + \overline{\frac{1}{\alpha^2}} = (\overline{\alpha})^2 + \frac{1}{(\overline{\alpha})^2}$

$|\alpha|=1$ より、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ である。

したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ となる。

これより、

$(\overline{\alpha})^2 + \frac{1}{(\overline{\alpha})^2} = (\frac{1}{\alpha})^2 + \frac{1}{(\frac{1}{\alpha})^2} = \frac{1}{\alpha^2} + \alpha^2 = \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$

したがって、

$\overline{\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}} = \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$

となるから、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数である。

3. 最終的な答え

$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ は実数である。