三角形ABCがあり、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがある。Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$、$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$を満たしている。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとする。 (1) $\overrightarrow{AR}$ を $\overrightarrow{AB}$ で表す。 (2) $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{BQ}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。 (3) $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{DE}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。 (4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがある。Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$、$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$を満たしている。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとする。

(1) $\overrightarrow{AR}$ を $\overrightarrow{AB}$ で表す。

(2) $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{BQ}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

(3) $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{DE}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$ より、$\frac{\frac{1}{2}AR \cdot AQ \cdot \sin A}{\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A} = \frac{1}{6}$となる。$AQ = \frac{1}{2}AC$なので、$\frac{AR \cdot \frac{1}{2}AC}{AB \cdot AC} = \frac{1}{6}$となり、$\frac{AR}{AB} = \frac{1}{3}$。よって、$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$。

(2) $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$より、$\frac{\frac{1}{2}BP \cdot BQ \cdot \sin B}{\frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B} = \frac{1}{5}$となる。$BQ = \sqrt{BA^2 + AQ^2 - 2BA \cdot AQ \cdot \cos A}$である。

ここでメネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1/3}{2/3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1/2}{1/2} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 2$

$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

次に、$\frac{AP}{PD} \cdot \frac{DB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$より、AR:RB = 1:2。よって、$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

同様に、$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$より、BP:PC = 2:1。よって、$\overrightarrow{AP} = \frac{1\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{1+2} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

また、$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

(3) DはAP上にあるので、$\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AP} = \frac{k}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2k}{3}\overrightarrow{AC}$。また、DはBQ上にあるので、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AB} + l(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = (1-l)\overrightarrow{AB} + \frac{l}{2}\overrightarrow{AC}$。

したがって、$\frac{k}{3} = 1-l$、$\frac{2k}{3} = \frac{l}{2}$。これらを解くと、$k = \frac{9}{8}, l = \frac{3}{4}$

よって、$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$ を求める。

それぞれの解答群に当てはまる数字を埋めると：

(1) ア=1、イ=3

(2) ウ=1、エ=3、オ=2、カ=3

キ=-1、ク=1、ケ=2

(3) コ=3、サ=8、シ=3、ス=4

セ=1、ソタ=24、チ=5、ツテ=24

最終的に、$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{28}$

3. 最終的な答え

$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{28}$