与えられた集合$S$が、$R^2$の部分空間かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の8つの集合について、和について閉じているか、定数倍について閉じているかを調べ、部分空間であるかどうかを判定します。 (1) 第1象限 (2) 直線 $y = x$ (3) 線分 $y = x (-1 \le x \le 1)$ (4) 直線 $y = x + 1$ (5) 2直線 $y = \pm x$ の和集合 (6) 単位円周 (7) 1点からなる集合 $\{r\}$ (8) 1点からなる集合 $\{0\}$

1. 問題の内容

与えられた集合$S$が、$R^2$の部分空間かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の8つの集合について、和について閉じているか、定数倍について閉じているかを調べ、部分空間であるかどうかを判定します。

(1) 第1象限

(2) 直線 $y = x$

(3) 線分 $y = x (-1 \le x \le 1)$

(4) 直線 $y = x + 1$

(5) 2直線 $y = \pm x$ の和集合

(6) 単位円周

(7) 1点からなる集合 $\{r\}$

(8) 1点からなる集合 $\{0\}$

2. 解き方の手順

部分空間であるための条件は、以下の3つです。

(1) ゼロベクトルを含む

(2) 和について閉じている

(3) スカラー倍について閉じている

各集合について、これらの条件を満たすかどうかを調べます。

(1) 第1象限: $(1,1) + (1,1) = (2,2)$は第1象限に含まれますが、 $(-1) \cdot (1,1) = (-1, -1)$は第1象限に含まれません。したがって、スカラー倍について閉じていないため、部分空間ではありません。和については閉じています。

(2) 直線 $y = x$: $(x_1, x_1) + (x_2, x_2) = (x_1+x_2, x_1+x_2)$なので、和について閉じています。また、$c \cdot (x, x) = (cx, cx)$なので、スカラー倍についても閉じています。ゼロベクトル$(0,0)$を含むので、部分空間です。

(3) 線分 $y = x (-1 \le x \le 1)$: $(1,1) + (1,1) = (2,2)$は線分に含まれません。したがって、和について閉じていないため、部分空間ではありません。

(4) 直線 $y = x + 1$: ゼロベクトル $(0,0)$ が $0 = 0 + 1$ を満たさないため、直線上にありません。したがって、ゼロベクトルを含まないので、部分空間ではありません。

(5) 2直線 $y = \pm x$ の和集合: $(1,1) + (1, -1) = (2,0)$ですが、$y = \pm x$上にありません。したがって、和について閉じていないので部分空間ではありません。

(6) 単位円周: $(1,0)$と$(0,1)$を単位円周上の点とすると、$(1,0)+(0,1) = (1,1)$は単位円周上にありません。また$(0,0)$を含まないので部分空間ではありません。

(7) 1点からなる集合 $\{r\}$:

もし$r \neq 0$であれば、ゼロベクトルを含まないので部分空間ではありません。

もし$r = 0$であれば、和とスカラー倍について閉じているので部分空間です。問題文では$r$についての記述がないので、$r$が何であるかにより答えが変わります。ここでは$r$が0でない場合を考えます。

(8) 1点からなる集合 $\{0\}$: $(0,0) + (0,0) = (0,0)$、$c \cdot (0,0) = (0,0)$なので、和とスカラー倍について閉じています。また、ゼロベクトルを含みます。したがって、部分空間です。

3. 最終的な答え

(1) 第1象限: 和について閉じているが、部分空間ではない。

(2) 直線 $y = x$: 和について閉じており、部分空間である。

(3) 線分 $y = x (-1 \le x \le 1)$: 和について閉じておらず、部分空間ではない。

(4) 直線 $y = x + 1$: 部分空間ではない。

(5) 2直線 $y = \pm x$ の和集合: 和について閉じておらず、部分空間ではない。

(6) 単位円周: 部分空間ではない。

(7) 1点からなる集合 $\{r\}$ （$r \neq 0$の場合）: 部分空間ではない。

(8) 1点からなる集合 $\{0\}$: 和について閉じており、部分空間である。