$\sqrt{\frac{48n}{7}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{48n}{7}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{48n}{7}}$ が自然数になるためには、$\frac{48n}{7}$ がある自然数の2乗になる必要があります。

言い換えると、$\frac{48n}{7} = k^2$ （$k$ は自然数）となる $n$ を探します。

$48$を素因数分解すると、$48 = 2^4 \cdot 3$ となります。

したがって、$\frac{48n}{7} = \frac{2^4 \cdot 3 \cdot n}{7}$となります。

$\frac{2^4 \cdot 3 \cdot n}{7} = k^2$ となるためには、$n$ は少なくとも $3$ と $7$ を含む必要があります。

したがって、$n = 3 \cdot 7 \cdot m^2$ （$m$ は自然数）という形である必要があります。

このとき、$n$ は自然数である必要があります。

$\frac{2^4 \cdot 3 \cdot n}{7} = \frac{2^4 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 7 \cdot m^2)}{7} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot m^2 = (2^2 \cdot 3 \cdot m)^2 = (12m)^2$

$n$ が最も小さい自然数となるためには、$m=1$ とする必要があります。

したがって、$n = 3 \cdot 7 \cdot 1^2 = 21$ となります。

3. 最終的な答え

21