## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

点A(-1, 3, 1)と点B(0, 2, 3)を通る直線 $l$ に、原点Oから垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求める問題です。

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2. 解き方の手順

1. 直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d}$ を求める。$\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0 - (-1), 2 - 3, 3 - 1) = (1, -1, 2)$

2. 直線 $l$ 上の点Hは、パラメータ $t$ を用いて、$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{d}$ と表せる。よって、

$\vec{OH} = (-1, 3, 1) + t(1, -1, 2) = (-1 + t, 3 - t, 1 + 2t)$

したがって、Hの座標は $H(-1 + t, 3 - t, 1 + 2t)$ と表せる。

3. $\vec{OH}$ と $\vec{d}$ が垂直である条件より、内積が0になる。

$\vec{OH} \cdot \vec{d} = 0$

$(-1 + t)(1) + (3 - t)(-1) + (1 + 2t)(2) = 0$

$-1 + t - 3 + t + 2 + 4t = 0$

$6t - 2 = 0$

$t = \frac{1}{3}$

4. $t = \frac{1}{3}$ をHの座標に代入する。

$H(-1 + \frac{1}{3}, 3 - \frac{1}{3}, 1 + 2 \cdot \frac{1}{3}) = H(-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{3})$

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3. 最終的な答え

Hの座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{3})$