正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを3:2に内分する点をPとする。線分APと線分BFの交点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AQ}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{AF}$を用いて表す。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを3:2に内分する点をPとする。線分APと線分BFの交点をQとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AQ}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{AF}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pが線分DEを3:2に内分することから、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AE}$を用いて表す。

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5} \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5} (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}) = \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AE}$

ここで、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AF}$

また、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}$

よって、

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) + \frac{3}{5} (\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}) = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AF} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{6}{5} \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{8}{5} \overrightarrow{AF}$

次に、点Qは線分AP上にあるので、$k$を実数として、

$\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP} = k (\overrightarrow{AB} + \frac{8}{5} \overrightarrow{AF}) = k\overrightarrow{AB} + \frac{8}{5}k\overrightarrow{AF}$

また、点Qは線分BF上にあるので、$l$を実数として、

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + l(\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB}) = (1-l)\overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{AF}$

したがって、

$k = 1-l$

$\frac{8}{5}k = l$

この連立方程式を解くと、

$k = 1 - \frac{8}{5}k$

$\frac{13}{5}k = 1$

$k = \frac{5}{13}$

$l = \frac{8}{5}k = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{8}{13}$

よって、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{5}{13} \overrightarrow{AB} + \frac{8}{13} \overrightarrow{AF}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AQ} = \frac{5}{13} \overrightarrow{AB} + \frac{8}{13} \overrightarrow{AF}$