三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを4:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、 (1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。 (2) OPの延長とABの交点をQとするとき、(i) AQ:QBを求めよ。 (ii) OP:PQを求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:3に内分する点をC、辺OBを4:1に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表せ。

(2) OPの延長とABの交点をQとするとき、(i) AQ:QBを求めよ。 (ii) OP:PQを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 交点Pは線分AD上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + \frac{4}{5}s\vec{b}$

と表せる。

同様に、交点Pは線分BC上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = \frac{1}{4}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{1}{4}t$

$\frac{4}{5}s = 1-t$

これらの式を解くと、$s = \frac{5}{19}, t = \frac{56}{19}$

よって、

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{19})\vec{a} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{19}\vec{b} = \frac{14}{19}\vec{a} + \frac{4}{19}\vec{b}$

(2)

(i) 点Qは直線OP上にあるので、実数kを用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = \frac{14}{19}k\vec{a} + \frac{4}{19}k\vec{b}$

点Qは直線AB上にあるので、$\vec{OQ} = u\vec{OA} + (1-u)\vec{OB} = u\vec{a} + (1-u)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{14}{19}k = u$

$\frac{4}{19}k = 1-u$

これらの式を解くと、$k = \frac{19}{18}, u = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$

したがって、$\vec{OQ} = \frac{7}{9}\vec{OA} + \frac{2}{9}\vec{OB}$

よって、AQ:QB = 2:7

(ii)

$\vec{OP} = \frac{19}{18} \vec{OQ}$

$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$なので、$\vec{OP} = \frac{19}{18}(\vec{OP} + \vec{PQ})$

$\frac{18}{19} \vec{OP} = \vec{OP} + \vec{PQ}$

$\vec{PQ} = -\frac{1}{19} \vec{OP}$

OP:PQ = 19:1

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{14}{19}\vec{a} + \frac{4}{19}\vec{b}$

(2) (i) AQ:QB = 2:7 (ii) OP:PQ = 18:1