直角三角形ABCにおいて、斜辺がBC、∠B = 30°, AC = 1である。辺AB上にAD = 1となる点Dを取り、点Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。∠BCD, BD, DH, sin15°, cos15°を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、斜辺がBC、∠B = 30°, AC = 1である。辺AB上にAD = 1となる点Dを取り、点Dを通るBCに垂直な直線とBCの交点をHとする。∠BCD, BD, DH, sin15°, cos15°を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCについて考える。∠A = 90°なので、∠C = 180° - 90° - 30° = 60°である。

$AB = AC / \tan(30°) = 1 / (1/\sqrt{3}) = \sqrt{3}$

$BC = AC / \sin(30°) = 1 / (1/2) = 2$

次に、三角形ABDについて考える。AD = 1であり、AB = $\sqrt{3}$であるから、BD = AB - AD = $\sqrt{3} - 1$

∠BCD = ∠C - ∠BCA = 60° - ∠BCAを求める

三角形ADHにおいて、∠ADH = 90° - ∠AHD = 90° - 30° = 60°

∠ADB = 180° - ∠ADH = 180° - 60° = 120°

三角形ABDにおいて、∠BAD = 30°なので、

$\frac{BD}{\sin{30^\circ}} = \frac{AD}{\sin{\angle ABD}}$

$\sin{\angle ADB} = \frac{AD \sin{30^\circ}}{BD} = \frac{1 \times 1/2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1}{2(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2(3 - 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

$\angle ABD = 180 - (30 + 120) = 30^\circ$

∠BCDを求める。

三角形BDHは直角三角形であり、∠DBH = 30°なので、∠BDH = 60°。

∠BDA = 180 - 30 - 30 = 120

∠BDC = 180 - 120 = 60

∠BCD = 60 - 45 = 15°

DHを求める。

$DH = BD \sin{30^\circ} = (\sqrt{3} - 1) \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

sin15°, cos15°を求める

$sin{15^\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$cos{15^\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

∠BCD = 15

BD = $\sqrt{3} - 1$

DH = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

sin15° = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

cos15° = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$