問題は、次の不等式の表す領域を図示することです。 (1) $\begin{cases} x^2 + y^2 > 1 \\ y < x+1 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 4x^2 + 9y^2 \le 36 \\ x^2 - y^2 \ge 1 \end{cases}$ (3) $(x^2 + y^2 - 1)(x - y + 1) > 0$ (4) $(x^2 + y^2 - 1)(x - y^2) > 0$

1. 問題の内容

問題は、次の不等式の表す領域を図示することです。

(1) $\begin{cases} x^2 + y^2 > 1 \\ y < x+1 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} 4x^2 + 9y^2 \le 36 \\ x^2 - y^2 \ge 1 \end{cases}$

(3) $(x^2 + y^2 - 1)(x - y + 1) > 0$

(4) $(x^2 + y^2 - 1)(x - y^2) > 0$

2. 解き方の手順

(1)

* $x^2 + y^2 > 1$ は、中心が原点で半径が1の円の外部を表します。境界は含みません。

* $y < x+1$ は、直線 $y = x+1$ の下側を表します。境界は含みません。

* したがって、これらの両方を満たす領域は、円の外部かつ直線の下方です。境界を含まないことに注意して図示します。

(2)

* $4x^2 + 9y^2 \le 36$ は、楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ の内部を表します。境界を含みます。

* $x^2 - y^2 \ge 1$ は、双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の領域を表します。 $x^2-y^2=1$を$x^2 \ge 1+y^2$と変形すると、$x^2 \ge 1$を満たす必要があるので、双曲線の$x \ge 1$と$x \le -1$の部分です。境界を含みます。

* これらの両方を満たす領域は、楕円の内部かつ双曲線の外側です。境界を含むことに注意して図示します。

(3)

* $(x^2 + y^2 - 1)(x - y + 1) > 0$ を満たす領域は、次の2つの場合に分けられます。

* $x^2 + y^2 - 1 > 0$ かつ $x - y + 1 > 0$

* $x^2 + y^2 - 1 < 0$ かつ $x - y + 1 < 0$

* $x^2 + y^2 - 1 > 0$ は、円 $x^2 + y^2 = 1$ の外部を表します。

* $x^2 + y^2 - 1 < 0$ は、円 $x^2 + y^2 = 1$ の内部を表します。

* $x - y + 1 > 0$ は、$y < x + 1$ であり、直線 $y = x+1$ の下側を表します。

* $x - y + 1 < 0$ は、$y > x + 1$ であり、直線 $y = x+1$ の上側を表します。

* それぞれのケースを図示し、和集合を求めます。境界を含みません。

(4)

* $(x^2 + y^2 - 1)(x - y^2) > 0$ を満たす領域は、次の2つの場合に分けられます。

* $x^2 + y^2 - 1 > 0$ かつ $x - y^2 > 0$

* $x^2 + y^2 - 1 < 0$ かつ $x - y^2 < 0$

* $x^2 + y^2 - 1 > 0$ は、円 $x^2 + y^2 = 1$ の外部を表します。

* $x^2 + y^2 - 1 < 0$ は、円 $x^2 + y^2 = 1$ の内部を表します。

* $x - y^2 > 0$ は、$x > y^2$ を意味し、放物線 $x = y^2$ の左側（y軸正方向側）を表します。

* $x - y^2 < 0$ は、$x < y^2$ を意味し、放物線 $x = y^2$ の右側（y軸負方向側）を表します。

* それぞれのケースを図示し、和集合を求めます。境界を含みません。

3. 最終的な答え

(1), (2), (3), (4)それぞれの不等式が表す領域は、上記の手順で図示されます。具体的な図示は省略します。