円 $(x-1)^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点をもたない条件は、円の中心と直線の距離が円の半径よりも大きいことです。

まず、円の中心と半径を求めます。円の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 8$ より、円の中心は $(1, 0)$ であり、半径は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。

次に、点 $(1, 0)$ と直線 $y = x + m$ の距離 $d$ を求めます。直線の方程式を変形して、$x - y + m = 0$ とします。点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|1 - 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + m|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点をもたない条件は、$d > 2\sqrt{2}$ であるので、

$\frac{|1 + m|}{\sqrt{2}} > 2\sqrt{2}$

$|1 + m| > 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|1 + m| > 4$

絶対値を外すと、

$1 + m > 4$ または $1 + m < -4$

$m > 3$ または $m < -5$

3. 最終的な答え

$m < -5$, $m > 3$