ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ について、以下の条件が与えられています。 * $|\vec{x} - \vec{y}| = 1$ * $|2\vec{y} - \vec{x}| = 2$ * $(\vec{x}-\vec{y}) \perp (2\vec{y}-\vec{x})$ このとき、 (1) $|\vec{x}|$ と $|\vec{y}|$ の値を求める。 (2) $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ について、以下の条件が与えられています。

* $|\vec{x} - \vec{y}| = 1$

* $|2\vec{y} - \vec{x}| = 2$

* $(\vec{x}-\vec{y}) \perp (2\vec{y}-\vec{x})$

このとき、

(1) $|\vec{x}|$ と $|\vec{y}|$ の値を求める。

(2) $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{x}|$ と $|\vec{y}|$ を求める。

与えられた条件 $|\vec{x} - \vec{y}| = 1$ と $|2\vec{y} - \vec{x}| = 2$ をそれぞれ2乗します。

$|\vec{x} - \vec{y}|^2 = (\vec{x} - \vec{y}) \cdot (\vec{x} - \vec{y}) = |\vec{x}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y} + |\vec{y}|^2 = 1$

$|2\vec{y} - \vec{x}|^2 = (2\vec{y} - \vec{x}) \cdot (2\vec{y} - \vec{x}) = 4|\vec{y}|^2 - 4\vec{x} \cdot \vec{y} + |\vec{x}|^2 = 4$

また、 $(\vec{x}-\vec{y}) \perp (2\vec{y}-\vec{x})$ より、 $(\vec{x}-\vec{y}) \cdot (2\vec{y}-\vec{x}) = 0$ なので、

$(\vec{x}-\vec{y}) \cdot (2\vec{y}-\vec{x}) = 2\vec{x} \cdot \vec{y} - |\vec{x}|^2 - 2|\vec{y}|^2 + \vec{x} \cdot \vec{y} = 3\vec{x} \cdot \vec{y} - |\vec{x}|^2 - 2|\vec{y}|^2 = 0$

これらの式を整理して、以下の方程式を得ます。

1. $|\vec{x}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y} + |\vec{y}|^2 = 1$

2. $|\vec{x}|^2 - 4\vec{x} \cdot \vec{y} + 4|\vec{y}|^2 = 4$

3. $|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2 - 3\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$

式1と式2から、

$2|\vec{x} \cdot \vec{y}| + 3|\vec{y}|^2 = 3$

$2\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2$

式1に代入すると、

$|\vec{x}|^2 - (|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2) + |\vec{y}|^2 = 1$

$-|\vec{y}|^2 = 1$　-> これは矛盾するので計算間違いがある.

式3より $3\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2$ であるから、 $\vec{x} \cdot \vec{y} = \frac{1}{3}(|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2)$.

これを式1に代入すると、

$|\vec{x}|^2 - \frac{2}{3}(|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2) + |\vec{y}|^2 = 1$

$\frac{1}{3}|\vec{x}|^2 - \frac{1}{3}|\vec{y}|^2 = 1$

$|\vec{x}|^2 - |\vec{y}|^2 = 3$

これを式2に代入すると、

$|\vec{x}|^2 - \frac{4}{3}(|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2) + 4|\vec{y}|^2 = 4$

$-\frac{1}{3}|\vec{x}|^2 + \frac{4}{3}|\vec{y}|^2 = 4$

$-|\vec{x}|^2 + 4|\vec{y}|^2 = 12$

$|\vec{x}|^2 - |\vec{y}|^2 = 3$ と $-|\vec{x}|^2 + 4|\vec{y}|^2 = 12$ を足すと、

$3|\vec{y}|^2 = 15$

$|\vec{y}|^2 = 5$

$|\vec{y}| = \sqrt{5}$

$|\vec{x}|^2 = |\vec{y}|^2 + 3 = 5 + 3 = 8$

$|\vec{x}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\cos\theta$ を求める。

$\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos\theta$ より、

$\cos\theta = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| |\vec{y}|}$

式3より、$\vec{x} \cdot \vec{y} = \frac{1}{3}(|\vec{x}|^2 + 2|\vec{y}|^2) = \frac{1}{3}(8 + 2(5)) = \frac{1}{3}(18) = 6$.

したがって、

$\cos\theta = \frac{6}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{x}| = 2\sqrt{2}$, $|\vec{y}| = \sqrt{5}$

(2) $\cos\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$