平面上の3点O(0, 0), A(10, 5), B(-6, 13)について、点P(2, 1)を通って、三角形OABの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

平面上の3点O(0, 0), A(10, 5), B(-6, 13)について、点P(2, 1)を通って、三角形OABの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形OABの面積は、ベクトルOAとベクトルOBを使って計算できる。

ベクトルOA = (10, 5)

ベクトルOB = (-6, 13)

三角形OABの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |(10)(13) - (5)(-6)| = \frac{1}{2} |130 + 30| = \frac{1}{2} |160| = 80$

点P(2, 1)を通る直線が三角形OABの面積を2等分するとき、面積は40となる。

この直線が辺OAと交わるとき、交点を(10t, 5t)とする。

この直線が辺OBと交わるとき、交点を(-6s, 13s)とする。

ここで、直線がOAと交わる場合を考える。

三角形O(10t, 5t)Pの面積が40となる場合を考える。

$\frac{1}{2} |(10t)(1) - (5t)(2)| = 40$

$\frac{1}{2} |10t - 10t| = 0 \neq 40$

直線がOAと交わらない場合を考える。直線がABと交わる場合を考える。

ABの式は

傾きは $\frac{13-5}{-6-10} = \frac{8}{-16} = -\frac{1}{2}$

$y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 10)$

$y = -\frac{1}{2}x + 5 + 5 = -\frac{1}{2}x + 10$

直線の方程式を$y - 1 = m(x - 2)$とおく。

$y = mx - 2m + 1$

直線とOAの交点の座標を(X, Y)とする。Y=0でX= $\frac{2m-1}{m}$

三角形O(X,0)A = 40

直線とOBの交点の座標を(X, Y)とする。Y=0でX= $\frac{2m-1}{m}$

三角形OABの面積は80なので、三角形OXYの面積は40である必要がある。

直線がOAとABで交わる場合を考える。OAと交わる点を(10t, 5t), ABと交わる点を(x, -x/2 + 10)とする。

この2点を通る直線が(2, 1)を通るとき、

$\frac{5t - (-x/2 + 10)}{10t - x} = \frac{5t-1}{10t-2}$

(x,-x/2+10) = (2,1)の時を考える。

直線がOBとABで交わる場合を考える。

OABの面積の半分は

4

0. 点P(2,1)を通る直線をy = mx + c とすると 1 = 2m + c なので c = 1 - 2m

y = mx + 1 - 2m

OBとの交点は mx + 1 - 2m = 13x/-6なので x(m+13/6) = 2m - 1

x = (2m-1) / (m+13/6)

y = mx + 1 - 2m

AB: y = -1/2x + 10

点P(2,1)を通る

$\frac{19}{5}x + \frac{42}{5}y -32=0$

3. 最終的な答え

$19x+42y-80 = 0$