2つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ について、次の問いに答える。 (1) 2つの円の2つの交点と点(1, 1)を通る円の方程式を求める。 (2) 2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ について、次の問いに答える。

(1) 2つの円の2つの交点と点(1, 1)を通る円の方程式を求める。

(2) 2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて、

$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$ と表せる。

この円が点(1, 1)を通るので、

$1^2 + 1^2 - 4 + k(1^2 + 1^2 - 8(1) - 4(1) + 4) = 0$

$-2 + k(1 + 1 - 8 - 4 + 4) = 0$

$-2 + k(-6) = 0$

$-6k = 2$

$k = -\frac{1}{3}$

これを代入して整理すると、

$x^2 + y^2 - 4 - \frac{1}{3}(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 12 - x^2 - y^2 + 8x + 4y - 4 = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 8x + 4y - 16 = 0$

$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$k = -1$ の場合を考える。

$x^2 + y^2 - 4 + (-1)(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 4 - x^2 - y^2 + 8x + 4y - 4 = 0$

$8x + 4y - 8 = 0$

$2x + y - 2 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$

(2) $2x + y - 2 = 0$