与えられたシグマ記号で表された和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{4} 2^{k-1}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられたシグマ記号で表された和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{4} 2^{k-1}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

シグマ記号は、与えられた範囲の $k$ について、式 $2^{k-1}$ の値を計算し、それらを足し合わせることを意味します。

$k$ が 1 から 4 まで変化するので、$k$ に 1, 2, 3, 4 を代入して計算し、その結果を合計します。

$k=1$ のとき、$2^{1-1} = 2^0 = 1$

$k=2$ のとき、$2^{2-1} = 2^1 = 2$

$k=3$ のとき、$2^{3-1} = 2^2 = 4$

$k=4$ のとき、$2^{4-1} = 2^3 = 8$

これらの値を合計します。

$1 + 2 + 4 + 8 = 15$

別の方法として、これは初項 1、公比 2 の等比数列の最初の4項の和であることに気づくことができます。等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

この場合、$a = 1$, $r = 2$, $n = 4$ なので、

$S_4 = \frac{1(2^4 - 1)}{2-1} = \frac{1(16-1)}{1} = 15$

3. 最終的な答え

15