実数 $x$ に対して、$x$ 以下の最大の整数を $[x]$ で表す。 (1) $[x]^2 - 2[x] = 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (2) $x^2 - 2[x] = 0$ を満たす $x$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$x$ 以下の最大の整数を $[x]$ で表す。

(1) $[x]^2 - 2[x] = 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(2) $x^2 - 2[x] = 0$ を満たす $x$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $[x]^2 - 2[x] = 0$

$[x] = t$ とおくと、$t$ は整数であり、$t^2 - 2t = 0$。

$t(t-2) = 0$ なので、$t = 0, 2$。

$[x] = 0$ のとき、$0 \le x < 1$。

$[x] = 2$ のとき、$2 \le x < 3$。

(2) $x^2 - 2[x] = 0$ より、$x^2 = 2[x]$。

ここで$[x]$は整数なので、$x^2$ は偶数である。したがって、$x = \sqrt{2[x]}$ となる。

$n \le x < n+1$ となる整数 $n$ を用いると $[x] = n$ となるので、$x^2 = 2n$ であり、$x = \sqrt{2n}$。

$n \le x < n+1$ に代入すると $n \le \sqrt{2n} < n+1$。

すべての辺を2乗すると $n^2 \le 2n < (n+1)^2$。

$n^2 \le 2n$ より $n^2 - 2n \le 0$ となり、$n(n-2) \le 0$ なので、$0 \le n \le 2$。

$2n < (n+1)^2$ より $2n < n^2 + 2n + 1$ となり、$0 < n^2 + 1$。これはすべての $n$ で成り立つ。

$n=0$ のとき、$x = \sqrt{2 \cdot 0} = 0$。

$n=1$ のとき、$x = \sqrt{2 \cdot 1} = \sqrt{2}$。このとき $1 \le \sqrt{2} < 2$ なので条件を満たす。

$n=2$ のとき、$x = \sqrt{2 \cdot 2} = 2$。このとき $2 \le 2 < 3$ なので条件を満たす。

したがって、$x = 0, \sqrt{2}, 2$。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x < 1$, $2 \le x < 3$

(2) $x = 0$, $x = \sqrt{2}$, $x = 2$