円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ を $x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めます。ただし、パップス・ギュルダンの定理は使用しません。

1. 問題の内容

円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ を $x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めます。ただし、パップス・ギュルダンの定理は使用しません。

2. 解き方の手順

円板を $x$ 軸の周りに回転させた回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。

まず、$x^2 + (y-2)^2 = 1$ を $y$ について解きます。

$(y-2)^2 = 1 - x^2$

$y-2 = \pm \sqrt{1-x^2}$

$y = 2 \pm \sqrt{1-x^2}$

したがって、

$y_1 = 2 + \sqrt{1-x^2}$

$y_2 = 2 - \sqrt{1-x^2}$

ここで、$x$ の範囲は $-1 \le x \le 1$ となります。

回転体の体積 $V$ は、以下の式で計算できます。

$V = \pi \int_{-1}^{1} (y_1^2 - y_2^2) dx$

$y_1^2 = (2 + \sqrt{1-x^2})^2 = 4 + 4\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)$

$y_2^2 = (2 - \sqrt{1-x^2})^2 = 4 - 4\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)$

$y_1^2 - y_2^2 = (4 + 4\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)) - (4 - 4\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)) = 8\sqrt{1-x^2}$

$V = \pi \int_{-1}^{1} 8\sqrt{1-x^2} dx = 8\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$

ここで、$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ は、半径1の半円の面積を表します。半円の面積は $\frac{1}{2} \pi r^2$ であり、$r=1$ なので、$\frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ となります。

$V = 8\pi \cdot \frac{\pi}{2} = 4\pi^2$

3. 最終的な答え

$4\pi^2$