複素数 $z$ に対して、自然数 $n$ に対する $z^n = x_n + iy_n$ （$x_n, y_n$ は実数、$i$ は虚数単位）について、以下の問いに答える。 (1) $z = \cos \theta + i \sin \theta$ のとき、$x_n = \cos(n\theta)$ と $y_n = \sin(n\theta)$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。 (2) $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ （$r$ は正の実数、$\theta$ は実数）のとき、数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための必要十分条件を、$r$ と $\theta$ の範囲で表す。また、$r$ が数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための十分条件であること、および必要条件であることの証明も行う。 (3) $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{10}$ のとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ と $\sum_{n=1}^{\infty} y_n$ はともに収束し、それぞれの和を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、自然数 $n$ に対する $z^n = x_n + iy_n$ （$x_n, y_n$ は実数、$i$ は虚数単位）について、以下の問いに答える。

(1) $z = \cos \theta + i \sin \theta$ のとき、$x_n = \cos(n\theta)$ と $y_n = \sin(n\theta)$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

(2) $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ （$r$ は正の実数、$\theta$ は実数）のとき、数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための必要十分条件を、$r$ と $\theta$ の範囲で表す。また、$r$ が数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための十分条件であること、および必要条件であることの証明も行う。

(3) $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{10}$ のとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ と $\sum_{n=1}^{\infty} y_n$ はともに収束し、それぞれの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で証明する。

* $n=1$ のとき、$x_1 = \cos \theta, y_1 = \sin \theta$ となり成立する。

* $n=k$ のとき、$x_k = \cos(k\theta), y_k = \sin(k\theta)$ が成立すると仮定する。

* $n=k+1$ のとき、$z^{k+1} = z^k \cdot z = (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) (\cos \theta + i \sin \theta) = (\cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta) + i (\cos(k\theta)\sin \theta + \sin(k\theta)\cos \theta) = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta)$

* よって、$x_{k+1} = \cos((k+1)\theta), y_{k+1} = \sin((k+1)\theta)$ となり、$n=k+1$ でも成立する。

* 以上より、数学的帰納法により、$x_n = \cos(n\theta)$ と $y_n = \sin(n\theta)$ が任意の自然数 $n$ に対して成り立つ。

(2) $z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) = x_n + iy_n$ より、$x_n = r^n \cos(n\theta), y_n = r^n \sin(n\theta)$ となる。数列 $\{x_n\}$ と $\{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための必要十分条件は、$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$ である。

* $r$ に関して: $-1 < r < 1$ ならば、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ となり、数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ はともに $0$ に収束する。$r > 1$ ならば、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$ となるので、数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ はともに $0$ に収束しない。$r=1$ ならば、$x_n = \cos(n\theta), y_n = \sin(n\theta)$ となり、$\theta$ が $2\pi$ の有理数倍でない限り収束しない。$\theta$ が $2\pi$ の有理数倍の場合は、$x_n, y_n$ は周期的に変化するので、$\theta = m \pi$ ($m$ は整数)のときのみ$y_n=0$となり、$x_n$は$1$か$-1$を繰り返すため、0に収束しない。

* よって、$r < 1$ は数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための十分条件である。

* また、数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに $0$ に収束するための必要条件は $r < 1$ である。

* 必要十分条件は $0 < r < 1$。

(3) $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3}}{10}i = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ と表すと、$r = \sqrt{(\frac{1}{10})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{10})^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{3}{100}} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \frac{1}{10} / \frac{1}{5} = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{10} / \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$x_n = r^n \cos(n\theta) = (\frac{1}{5})^n \cos(\frac{n\pi}{3})$, $y_n = r^n \sin(n\theta) = (\frac{1}{5})^n \sin(\frac{n\pi}{3})$

$\sum_{n=1}^{\infty} x_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{5})^n \cos(\frac{n\pi}{3})$ , $\sum_{n=1}^{\infty} y_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{5})^n \sin(\frac{n\pi}{3})$

$\sum_{n=1}^{\infty} z^n = \frac{z}{1-z}$ が成立する。

$\sum_{n=1}^{\infty} x_n + i \sum_{n=1}^{\infty} y_n = \frac{\frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3}}{10}i}{1 - (\frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3}}{10}i)} = \frac{\frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3}}{10}i}{\frac{9}{10} - \frac{\sqrt{3}}{10}i} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{9 - \sqrt{3}i} = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(9 + \sqrt{3}i)}{(9 - \sqrt{3}i)(9 + \sqrt{3}i)} = \frac{9 + \sqrt{3}i + 9\sqrt{3}i - 3}{81 + 3} = \frac{6 + 10\sqrt{3}i}{84} = \frac{3 + 5\sqrt{3}i}{42} = \frac{3}{42} + \frac{5\sqrt{3}}{42}i = \frac{1}{14} + \frac{5\sqrt{3}}{42}i$

$\sum_{n=1}^{\infty} x_n = \frac{1}{14}$, $\sum_{n=1}^{\infty} y_n = \frac{5\sqrt{3}}{42}$

3. 最終的な答え

(2) $0 < r < 1$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} x_n = \frac{1}{14}$, $\sum_{n=1}^{\infty} y_n = \frac{5\sqrt{3}}{42}$