$a, b, c$を定数とするとき、次の2つの方程式を解く問題です。 (1) $(a^2-1)x^2 - (a^2+a)x + (a+1) = 0$ (2) $ax^2 + bx + c = 0$

1. 問題の内容

$a, b, c$を定数とするとき、次の2つの方程式を解く問題です。

(1) $(a^2-1)x^2 - (a^2+a)x + (a+1) = 0$

(2) $ax^2 + bx + c = 0$

2. 解き方の手順

(1) $(a^2-1)x^2 - (a^2+a)x + (a+1) = 0$

まず、式を因数分解しやすい形に変形します。

$(a+1)(a-1)x^2 - a(a+1)x + (a+1) = 0$

$a+1 = 0$ のとき、つまり $a=-1$ のとき、

$0\cdot x^2 - 0\cdot x + 0 = 0$

となり、これは $x$ がどのような値でも成立します。

したがって、$a=-1$ のとき、解は任意の実数となります。

$a+1 \neq 0$ のとき、つまり $a\neq-1$ のとき、$(a+1)$ で両辺を割ることができます。

$(a-1)x^2 - ax + 1 = 0$

$(a-1)x^2 - ax + 1 = (x-1)((a-1)x-1)=0$

したがって、$x-1 = 0$ または $(a-1)x - 1 = 0$

$x=1$ または $(a-1)x=1$

$a-1 = 0$ のとき、つまり $a=1$ のとき、$0x=1$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。したがって、解なし。

$a\neq1$ のとき、$x = \frac{1}{a-1}$

したがって、

$x=1, \frac{1}{a-1}$

(2) $ax^2 + bx + c = 0$

$a = 0$ のとき、$bx + c = 0$

$b=0$ かつ $c=0$ ならば、解は任意の実数。

$b=0$ かつ $c\neq0$ ならば、解なし。

$b\neq0$ ならば、$x = -\frac{c}{b}$

$a \neq 0$ のとき、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$b^2-4ac < 0$ ならば、実数解なし。

$b^2-4ac = 0$ ならば、$x = -\frac{b}{2a}$

$b^2-4ac > 0$ ならば、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

3. 最終的な答え

(1)

$a=-1$ のとき、解は任意の実数。

$a=1$ のとき、解なし。

$a\neq-1$ かつ $a\neq1$ のとき、$x=1, \frac{1}{a-1}$

(2)

$a = 0$ のとき、$b=0$ かつ $c=0$ ならば、解は任意の実数。

$a=0$ のとき、$b=0$ かつ $c\neq0$ ならば、解なし。

$a=0$ のとき、$b\neq0$ ならば、$x = -\frac{c}{b}$

$a \neq 0$ のとき、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$