整数 $a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3}$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）が7の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3}$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）が7の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法で証明する。

(I) $n=1$ のとき、$a_1 = 19^1 + (-1)^{1-1}2^{4(1)-3} = 19 + 1 \cdot 2^1 = 19 + 2 = 21 = 7 \times 3$

よって、$a_1$ は7の倍数である。

(II) $n=k$ ($k \ge 1$) のとき、$a_k = 19^k + (-1)^{k-1}2^{4k-3}$ が7の倍数であると仮定する。

すなわち、$a_k = 7m$ （$m$ は整数）とおける。

このとき、$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = 19^{k+1} + (-1)^{(k+1)-1}2^{4(k+1)-3} = 19^{k+1} + (-1)^k 2^{4k+1}$ を考える。

$a_{k+1} = 19 \cdot 19^k + (-1)^k 2^4 \cdot 2^{4k-3} = 19 \cdot 19^k + 16 (-1)^k 2^{4k-3}$

仮定より、$19^k = 7m - (-1)^{k-1} 2^{4k-3}$ であるから、

$a_{k+1} = 19 (7m - (-1)^{k-1} 2^{4k-3}) + 16 (-1)^k 2^{4k-3} = 19(7m) - 19 (-1)^{k-1} 2^{4k-3} + 16 (-1)^k 2^{4k-3}$

$= 19(7m) + (-1)^k 2^{4k-3} ( -19(-1)^{-1} + 16) = 19(7m) + (-1)^k 2^{4k-3} (19 + 16) = 19(7m) + 35 (-1)^k 2^{4k-3}$

$= 19(7m) + 7 \cdot 5 (-1)^k 2^{4k-3} = 7(19m + 5(-1)^k 2^{4k-3})$

よって、$a_{k+1}$ は7の倍数である。

(I), (II) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ は7の倍数である。

3. 最終的な答え

$a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3}$ は7の倍数である。