半径1の球Aに、半径$r$ ($0<r<1$) の半球面Bをかぶせた立体の体積が最大となるような$r$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

半径1の球Aに、半径$r$ ($0<r<1$) の半球面Bをかぶせた立体の体積が最大となるような$r$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、立体の体積を $r$ の関数として表します。

球Aの体積は、$V_A = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$です。

半球面Bの体積は、$V_B = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$です。

次に、球Aと半球面Bが重なっている部分の体積を求めます。

半球面Bを球Aにかぶせた時、球Aの中心から半球面Bの底面までの距離を$x$とすると、$x = 1 - \sqrt{r^2 - R^2}$ (Rは半球面Bの底面の半径)となります。ただし、$r^2 = x^2 + R^2$であり、$R$は半球面Bの底面の半径です。球の中心から距離$x$の平面で球Aを切り取った部分の体積を$V_c$とすると、

$V_c = \int_{1-x}^{1} \pi (1-y^2) dy = \pi [y - \frac{y^3}{3}]_{1-x}^1 = \pi [(1 - \frac{1}{3}) - (1-x - \frac{(1-x)^3}{3})] = \pi [\frac{2}{3} - 1 + x + \frac{(1-x)^3}{3}] = \pi [x - \frac{1}{3} + \frac{1-3x+3x^2-x^3}{3}] = \pi [x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - x + x^2 - \frac{x^3}{3}] = \pi (x^2 - \frac{x^3}{3})$

ここで、$x = 1-r$とすると、

$V_c = \pi ((1-r)^2 - \frac{(1-r)^3}{3}) = \pi (1 - 2r + r^2 - \frac{1 - 3r + 3r^2 - r^3}{3}) = \pi (\frac{3 - 6r + 3r^2 - 1 + 3r - 3r^2 + r^3}{3}) = \pi (\frac{2-3r+r^3}{3})$

したがって、求める立体の体積$V$は、

$V = V_A + V_B - V_c = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \pi \frac{2-3r+r^3}{3} = \frac{\pi}{3} (4 + 2r^3 - 2 + 3r - r^3) = \frac{\pi}{3} (r^3 + 3r + 2)$

$V(r) = \frac{\pi}{3} (r^3 + 3r + 2)$を$r$で微分すると、

$\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{3} (3r^2 + 3) = \pi (r^2 + 1) > 0$

したがって、$r$の値に関わらず、$V(r)$は単調増加関数であるため、$0 < r < 1$の範囲で$r \to 1$ のとき、$V$が最大になる。しかし、$r < 1$なので、$r$の値は限りなく1に近づく。

$V'(r)= \frac{\pi}{3} (3r^2 + 3)$

$V''(r) = \frac{\pi}{3} (6r) = 2\pi r$

$V''(r) = 0$となるのは、$r = 0$の時。

$V'(r) = 0$となる$r$は存在しない。

$V = V_A + V_B - V_c$

$V = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{\pi}{3} (3r^2-r^3)$

$V = \frac{\pi}{3} (4+2r^3 -3r^2)$

$\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{3} (6r^2 - 6r) = 0$

$r(r-1) = 0$

$r = 0, 1$

$V'' = \frac{\pi}{3} (12r-6)$

$V''(0) = -2\pi$なので極大

$V''(1) = 2\pi$なので極小

$r^2 = 1 - (1-x)^2$

$V = \frac{4}{3} \pi (1^3) + \frac{2}{3}\pi r^3 - \pi (r^2 - \frac{r^3}{3})$

$V = \frac{4}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi r^3 - \pi (r^2 - \frac{r^3}{3}) = \frac{4}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi r^3 - \pi r^2 + \frac{1}{3}\pi r^3 = \pi (\frac{4}{3} + r^3 - r^2)$

$\frac{dV}{dr} = \pi (3r^2 - 2r) = 0 \rightarrow r (3r - 2) = 0$なので、$r=0, \frac{2}{3}$

$\frac{d^2 V}{dr^2} = \pi (6r - 2)$

$\frac{d^2 V}{dr^2}|_{r = \frac{2}{3}} = \pi (4 - 2) = 2\pi > 0$ 極小値

$\frac{d^2 V}{dr^2}|_{r = 0} = -2 \pi < 0$ 極大値

3. 最終的な答え

$r = \frac{2}{3}$