$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、与えられた式は

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}$

と書き換えられます。

ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ です。すると、

$\lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})}$

となります。三角関数の加法定理より、$\sin(t + \frac{\pi}{2}) = \sin t \cos \frac{\pi}{2} + \cos t \sin \frac{\pi}{2} = \cos t$、$\cos(t + \frac{\pi}{2}) = \cos t \cos \frac{\pi}{2} - \sin t \sin \frac{\pi}{2} = -\sin t$ となるので、

$\lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = \lim_{t \to 0} -\frac{t}{\sin t} \cos t$

となります。ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ より $\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ であることと、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$ であることから、

$\lim_{t \to 0} -\frac{t}{\sin t} \cos t = -1 \cdot 1 = -1$

となります。

3. 最終的な答え

-1