(1) 分母を有理化する問題：$\frac{14}{5\sqrt{2}}$ (2) 式を計算し、分母を有理化する問題：$\frac{10\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}} \times \frac{4-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ (3) 式を計算する問題：$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1}$ (4) 式を計算する問題：$\frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{3}{2-\sqrt{5}} + \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{3}{2-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

(1) 分母を有理化する問題：$\frac{14}{5\sqrt{2}}$

(2) 式を計算し、分母を有理化する問題：$\frac{10\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}} \times \frac{4-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

(3) 式を計算する問題：$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1}$

(4) 式を計算する問題：$\frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{3}{2-\sqrt{5}} + \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{3}{2-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化：

$\frac{14}{5\sqrt{2}}$ の分母を有理化するため、分子と分母に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{14}{5\sqrt{2}} = \frac{14 \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{14\sqrt{2}}{10} = \frac{7\sqrt{2}}{5}$

(2) 式の計算と分母の有理化：

$\frac{10\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}} \times \frac{4-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

まず、それぞれの分数で分母を有理化します。

$\frac{10\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}} = \frac{(10\sqrt{2}+5)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{20+5\sqrt{2}}{2}$

$\frac{4-\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{(4-\sqrt{2})\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}-\sqrt{10}}{5}$

したがって、

$\frac{20+5\sqrt{2}}{2} \times \frac{4\sqrt{5}-\sqrt{10}}{5} = \frac{5(4+\sqrt{2})}{2} \times \frac{\sqrt{5}(4-\sqrt{2})}{\sqrt{5}*\sqrt{5}} = \frac{(4+\sqrt{2})}{2} \times \frac{\sqrt{5}(4-\sqrt{2})}{1}$

$= \frac{(4+\sqrt{2})*(4\sqrt{5}-\sqrt{10})}{2}= \frac{16\sqrt{5}-4\sqrt{10}+4\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{2}=\frac{14\sqrt{5}}{2} = 7\sqrt{5}$

(3) 式の計算：

$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1}$

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{5\sqrt{5}-5}{25-5} = \frac{5\sqrt{5}-5}{20} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$\frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1 - (\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

(4) 式の計算：

$\frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{3}{2-\sqrt{5}} + \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{3}{2-\sqrt{5}} = \frac{2}{2+\sqrt{5}} - \frac{6}{2-\sqrt{5}}$

$\frac{2(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} - \frac{6(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{4-2\sqrt{5}}{4-5} - \frac{12+6\sqrt{5}}{4-5} = \frac{4-2\sqrt{5}}{-1} - \frac{12+6\sqrt{5}}{-1} = -4+2\sqrt{5} + 12+6\sqrt{5} = 8+8\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7\sqrt{2}}{5}$

(2) $7\sqrt{5}$

(3) $-\frac{1}{2}$

(4) $8+8\sqrt{5}$