与えられた式 $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(a-b)$ を計算します。これは差の二乗の公式 $a^2 - b^2$ を用いて、

$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

となります。

次に、$(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ を計算します。これは $(A-B)(A+B)$ の形をしているので、差の二乗の公式 $A^2 - B^2$ を利用できます。ここで、$A = a^2 + b^2$、$B = ab$ とおくと、

\begin{align*} (a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) &= ((a^2+b^2) - ab)((a^2+b^2) + ab) \\ &= (a^2+b^2)^2 - (ab)^2 \\ &= (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 \\ &= a^4 + a^2b^2 + b^4 \end{align*}

したがって、与えられた式は

\begin{align*} (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) &= (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) \end{align*}

となります。ここで、$(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)$ を計算します。

\begin{align*} (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) &= a^2(a^4+a^2b^2+b^4) - b^2(a^4+a^2b^2+b^4) \\ &= (a^6 + a^4b^2 + a^2b^4) - (a^4b^2 + a^2b^4 + b^6) \\ &= a^6 + a^4b^2 + a^2b^4 - a^4b^2 - a^2b^4 - b^6 \\ &= a^6 - b^6 \end{align*}

3. 最終的な答え

$a^6 - b^6$