自然数 $n$ に対して、不等式 $4^n \geq 4n^2$ を数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、不等式 $4^n \geq 4n^2$ を数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき：

左辺は $4^1 = 4$。右辺は $4(1^2) = 4$。よって、$4 \geq 4$ となり、不等式は成り立つ。

(2) $n=k$ (ただし、$k$ は自然数) のとき、$4^k \geq 4k^2$ が成り立つと仮定する。このとき、$n=k+1$ のときにも不等式が成り立つことを示す。

$n = k+1$ のとき、証明すべき不等式は $4^{k+1} \geq 4(k+1)^2$ である。

$4^{k+1} = 4 \cdot 4^k$ である。仮定より、$4^k \geq 4k^2$ なので、

$4^{k+1} \geq 4 \cdot 4k^2 = 16k^2$。

一方、$4(k+1)^2 = 4(k^2 + 2k + 1) = 4k^2 + 8k + 4$ である。

したがって、$16k^2 \geq 4k^2 + 8k + 4$ を示せば、$4^{k+1} \geq 4(k+1)^2$ が示せる。

$16k^2 - (4k^2 + 8k + 4) = 12k^2 - 8k - 4 = 4(3k^2 - 2k - 1) = 4(3k + 1)(k - 1)$ となる。

$k$ は自然数なので、$k \geq 1$ である。したがって、$4(3k+1)(k-1) \geq 0$。

よって、$16k^2 \geq 4k^2 + 8k + 4$ が成り立つ。

ゆえに、$4^{k+1} \geq 4(k+1)^2$ が成り立つ。

(1)(2)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して、$4^n \geq 4n^2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$4^n \geq 4n^2$ が成り立つ。