問題1： 質量 $m$ の質点が重力下で運動する場合について、以下の問いに答えます。 (1) 高さ $h$ から自由落下させたときの、地面（$z=0$）での速度をエネルギー保存則から求めます。 (2) 質点に働く力の大きさを求めます。 (3) 時刻 $t=0$ で位置 $(0, 0, h)$ から初速度 $(v_0, 0, 0)$ で質点を投げた場合、地面 ($z=0$) に到達するときの速度と $x$ 軸方向の位置を求めます。 (4) (3)で求めた速度をエネルギー保存則から求めます。 問題2： ポテンシャルエネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$ で与えられる系において、質量 $m$ の質点が運動する場合について、以下の問いに答えます。 (1) 質点に働く力 $F$ を求めます。 (2) 時刻 $t=0$ で位置 $r_0 = (a, 0, 0)$、初速度 $v_0 = (0, 0, v_0)$ が与えられたとき、時刻 $t$ での位置が $r = (x, 0, z)$、速度が $v = (v_x, 0, v_z)$ であるとします。このときのエネルギー保存則の式を立てます。 (3) ある時刻で $x=0$ となったとき、質点の速さを求めます。

1. 問題の内容

問題1：

質量 $m$ の質点が重力下で運動する場合について、以下の問いに答えます。

(1) 高さ $h$ から自由落下させたときの、地面（$z=0$）での速度をエネルギー保存則から求めます。

(2) 質点に働く力の大きさを求めます。

(3) 時刻 $t=0$ で位置 $(0, 0, h)$ から初速度 $(v_0, 0, 0)$ で質点を投げた場合、地面 ($z=0$) に到達するときの速度と $x$ 軸方向の位置を求めます。

(4) (3)で求めた速度をエネルギー保存則から求めます。

問題2：

ポテンシャルエネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$ で与えられる系において、質量 $m$ の質点が運動する場合について、以下の問いに答えます。

(1) 質点に働く力 $F$ を求めます。

(2) 時刻 $t=0$ で位置 $r_0 = (a, 0, 0)$、初速度 $v_0 = (0, 0, v_0)$ が与えられたとき、時刻 $t$ での位置が $r = (x, 0, z)$、速度が $v = (v_x, 0, v_z)$ であるとします。このときのエネルギー保存則の式を立てます。

(3) ある時刻で $x=0$ となったとき、質点の速さを求めます。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) エネルギー保存則より、

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{2gh}$

(2) 質点に働く力は重力のみであるため、

$F = mg$

(3) 水平方向には力が働かないため、$x$ 方向の速度は常に $v_0$ です。鉛直方向には重力が働くため、自由落下運動と同様に考えます。地面に到達するまでの時間は、$z$ 方向の運動について考えます。

$z(t) = h - \frac{1}{2}gt^2$

$z(t) = 0$ となる $t$ を求めると、$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

したがって、地面に到達するときの $z$ 方向の速度 $v_z$ は、

$v_z = -gt = -g\sqrt{\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}$

地面に到達するときの速度ベクトルは、$v = (v_0, 0, -\sqrt{2gh})$

$x$ 軸方向の位置は、$x = v_0 t = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$

(4) エネルギー保存則より、

$mgh + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}mv_z^2$

$v_x = v_0$ であるから、$v_z = \sqrt{2gh}$となり、$z$方向の速さのみに着目すれば(1)と同様の結果が得られます。

問題2：

(1) ポテンシャルエネルギー $U = \frac{1}{2}kx^2$ より、力 $F$ は、

$F = -\frac{dU}{dx} = -kx$

したがって、力ベクトルは $F = (-kx, 0, 0)$

(2) エネルギー保存則は、

$\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_z^2) = \frac{1}{2}ka^2 + \frac{1}{2}mv_0^2$

(3) $x=0$ となったとき、エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_z^2) = \frac{1}{2}ka^2 + \frac{1}{2}mv_0^2$

このとき、$x=0$ なので、$v_x$ は振動運動の中心での速度に相当し、エネルギー保存則から計算できます。

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}ka^2 + \frac{1}{2}mv_0^2$

$v = \sqrt{\frac{ka^2}{m} + v_0^2}$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $v = \sqrt{2gh}$

(2) $F = mg$

(3) $v = (v_0, 0, -\sqrt{2gh})$、 $x = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$

(4) $v_z = \sqrt{2gh}$

問題2：

(1) $F = (-kx, 0, 0)$

(2) $\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_z^2) = \frac{1}{2}ka^2 + \frac{1}{2}mv_0^2$

(3) $v = \sqrt{\frac{ka^2}{m} + v_0^2}$