与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この級数を解くために、部分分数分解を利用します。$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$を、ある定数A, Bを用いて$\frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$と表せるはずです。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

両辺に$(2n-1)(2n+1)$を掛けると、

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$1 = (2A+2B)n + (A-B)$

この等式が任意のnに対して成り立つためには、次の連立方程式が成り立つ必要があります。

$2A+2B = 0$

$A-B = 1$

一つ目の式から、$A = -B$が得られます。これを二つ目の式に代入すると、$-B - B = 1$となり、$-2B = 1$、つまり$B = -\frac{1}{2}$となります。したがって、$A = \frac{1}{2}$です。

よって、$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1/2}{2n-1} - \frac{1/2}{2n+1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$と分解できます。

次に、この級数の部分和を計算します。部分和を$S_N$とすると、

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

この和はtelescoping sum（望遠鏡和）の形になっているので、展開すると以下のようになります。

$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}\right) \right]$

$S_N = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2N+1}\right)$

最後に、$N \to \infty$の極限を計算します。

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2N+1}\right) = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$