$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{10+x} - \sqrt{10}}{x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{10+x} - \sqrt{10}}{x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、そのまま $x = 0$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形になるため、工夫が必要です。分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{10+x} - \sqrt{10}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{10+x} - \sqrt{10})(\sqrt{10+x} + \sqrt{10})}{x(\sqrt{10+x} + \sqrt{10})}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{10+x} - \sqrt{10})(\sqrt{10+x} + \sqrt{10}) = (10+x) - 10 = x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{10+x} - \sqrt{10}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{10+x} + \sqrt{10})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{10+x} + \sqrt{10}}$

$x$を0に近づけると

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{10+x} + \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10+0} + \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{10}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{10}}$

または、有理化して $\frac{\sqrt{10}}{20}$