(1) 関数 $f(x,y) = \sin^{-1}(xy)$ の2階偏導関数を求める。 (2) 関数 $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x,y) = \sin^{-1}(xy)$ の2階偏導関数を求める。

(2) 関数 $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = \sin^{-1}(xy)$ の2階偏導関数を求める。

まず1階偏導関数を求める。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}} = \frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2}}$

次に2階偏導関数を求める。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2}} \right) = y \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) (1-x^2y^2)^{-3/2} \cdot (-2xy^2) = \frac{xy^3}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2}} \right) = x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) (1-x^2y^2)^{-3/2} \cdot (-2x^2y) = \frac{x^3y}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2}} \right) = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} - x \cdot \frac{1}{2} (1-x^2y^2)^{-1/2} \cdot (-2xy^2)}{1-x^2y^2} = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1-x^2y^2}}}{1-x^2y^2} = \frac{1-x^2y^2 + x^2y^2}{(1-x^2y^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2}} \right) = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} - y \cdot \frac{1}{2} (1-x^2y^2)^{-1/2} \cdot (-2x^2y)}{1-x^2y^2} = \frac{\sqrt{1-x^2y^2} + \frac{x^2y^2}{\sqrt{1-x^2y^2}}}{1-x^2y^2} = \frac{1-x^2y^2 + x^2y^2}{(1-x^2y^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ のとき、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求める。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2(x^2+y^2) - 2x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x^2+2y^2-4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2(x^2+y^2) - 2y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x^2+2y^2-4y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2}$

したがって、

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2x^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{0}{(x^2+y^2)^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{xy^3}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{x^3y}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{1}{(1-x^2y^2)^{3/2}}$

(2)

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$