領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 2x, y \ge 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D 3y \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 2x, y \ge 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D 3y \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を調べます。不等式 $x^2 + y^2 \le 2x$ は、$(x-1)^2 + y^2 \le 1$ と変形できます。これは、中心 $(1, 0)$、半径 $1$ の円の内部を表します。条件 $y \ge 0$ により、$D$ は円の下半分を除いた領域になります。極座標変換を適用して計算を簡略化します。

$x = r \cos\theta$、$y = r \sin\theta$ と置くと、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$x^2 + y^2 \le 2x$ は、$r^2 \le 2r \cos\theta$ となります。したがって、$r \le 2 \cos\theta$ となります。また、$y \ge 0$ より、$0 \le \theta \le \pi$ です。しかし、$r \ge 0$ なので、$2 \cos \theta \ge 0$ となり、$\cos \theta \ge 0$ となるので、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

ヤコビアンは、$J = r$ なので、二重積分は、

$$\iint_D 3y \, dx \, dy = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2 \cos\theta} 3r \sin\theta \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2 \cos\theta} 3r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta$$

まず、$r$ について積分します。

$$\int_0^{2 \cos\theta} 3r^2 \sin\theta \, dr = \left[ r^3 \sin\theta \right]_0^{2 \cos\theta} = (2 \cos\theta)^3 \sin\theta = 8 \cos^3\theta \sin\theta$$

次に、$\theta$ について積分します。

$$\int_0^{\pi/2} 8 \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta$$

$u = \cos\theta$ と置換すると、$du = -\sin\theta \, d\theta$ となり、積分範囲は $\theta: 0 \to \pi/2$ から $u: 1 \to 0$ に変わります。したがって、

$$\int_0^{\pi/2} 8 \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta = \int_1^0 8 u^3 (-du) = -8 \int_1^0 u^3 du = 8 \int_0^1 u^3 du = 8 \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$$

3. 最終的な答え

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