媒介変数 $t$ で表される曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$, $(0 \le t \le \frac{\pi}{2})$ について、以下の問いに答えます。 (1) この曲線の概形を描く。 (2) 曲線と $x$ 軸で囲まれた図形 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表される曲線

$x = \sin t$, $y = \sin 2t$, $(0 \le t \le \frac{\pi}{2})$

について、以下の問いに答えます。

(1) この曲線の概形を描く。

(2) 曲線と $x$ 軸で囲まれた図形 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線の概形を描く。

$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2x \sqrt{1 - x^2}$.

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le x \le 1$ であり、$y \ge 0$ である。

$x = 0$ のとき $t = 0$ なので $y = 0$,

$x = 1$ のとき $t = \frac{\pi}{2}$ なので $y = 0$ である。

$x$ が $0$ から $1$ まで増加するとき、$y$ は $0$ から増加し、その後 $0$ まで減少する。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2 \cos 2t}{\cos t} = \frac{2(2\cos^2 t - 1)}{\cos t} = \frac{2(2(1-x^2) - 1)}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$

$y'=0$ のとき $1-2x^2=0$ より $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, このとき $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $t = \frac{\pi}{4}$, $y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$。

(2) 回転体の体積 $V$ を求める。

$V = \pi \int_{0}^{1} y^2 dx = \pi \int_{\pi/2}^{0} (\sin 2t)^2 \cos t dt = \pi \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 2t \sin t dt$

$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ より、

$V = \pi \int_{0}^{\pi/2} 4 \sin^2 t \cos^2 t \sin t dt = 4 \pi \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 t \cos^2 t dt$

$u = \cos t$ とおくと、$du = - \sin t dt$。$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - u^2$.

$V = 4 \pi \int_{1}^{0} (1-u^2) u^2 (-du) = 4 \pi \int_{0}^{1} (u^2 - u^4) du = 4 \pi \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = 4 \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 4 \pi (\frac{5-3}{15}) = 4 \pi \frac{2}{15} = \frac{8 \pi}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 曲線は、$x = 0$ から $x = 1$ の範囲で、$y \ge 0$ の部分にあり、$x=0,1$ のとき $y=0$、$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y=1$ となる曲線。

(2) $V = \frac{8 \pi}{15}$