$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす。$r < r_0$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となる理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を満たす。$r < r_0$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となる理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ と定義します。

$r_0 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$f(r_0) = 0$ であるという条件が与えられています。

$r < r_0$ のとき、$f(r) > 0$ であることを示す必要があります。

$f(r)$ が $0 \le r < 1$ の範囲で単調増加関数であることを示せば、 $r < r_0$ ならば $f(r) < f(r_0) = 0$ となるはずです。

関数 $f(r)$ の導関数を計算します。

$f'(r) = -\frac{\sqrt{1-r^2} - r \cdot \frac{-2r}{2\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = -\frac{\sqrt{1-r^2} + \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}}{1-r^2} = -\frac{1-r^2+r^2}{(1-r^2)\sqrt{1-r^2}} = -\frac{1}{(1-r^2)^{3/2}}$

$r$ は $0 \le r < 1$ の範囲なので、$1-r^2 > 0$ 。従って、$(1-r^2)^{3/2} > 0$ 。

よって、$f'(r) = -\frac{1}{(1-r^2)^{3/2}} < 0$ 。

つまり、$f(r)$ は単調減少関数です。したがって、$r < r_0$ ならば $f(r) > f(r_0) = 0$ 。

3. 最終的な答え

$f(r) = 2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ の導関数は $f'(r) = -\frac{1}{(1-r^2)^{3/2}}$ であり、$0 \le r < 1$ の範囲で常に負であるため、$f(r)$ は単調減少関数である。よって、$r < r_0$ のとき、$f(r) > f(r_0) = 0$ となる。

したがって、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ となる。