数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3^n}$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $b_n = 2^n a_n$ とおくとき、$b_{n+1} - b_n$ を $n$ で表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3^n}$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $b_n = 2^n a_n$ とおくとき、$b_{n+1} - b_n$ を $n$ で表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = 2^n a_n$ より、$b_{n+1} = 2^{n+1} a_{n+1}$ である。

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3^n}$ を代入すると、

$b_{n+1} = 2^{n+1} \left( \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3^n} \right) = 2^n a_n + 2^{n+1} \cdot \frac{1}{3^n} = b_n + 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n$

したがって、

$b_{n+1} - b_n = 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n$

(2) (1)より、$b_{n+1} - b_n = 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n$ であるから、$n \geq 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \left( \frac{2}{3} \right)^k$

$b_1 = 2^1 a_1 = 2 \cdot 1 = 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2 \left( \frac{2}{3} \right)^k = 2 \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{2}{3} \right)^k = 2 \cdot \frac{\frac{2}{3} \left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \right)}{1 - \frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{2}{3} \left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \right)}{\frac{1}{3}} = 4 \left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \right)$

よって、$b_n = 2 + 4 \left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \right) = 6 - 4 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} = 6 - 4 \cdot \frac{3}{2} \left( \frac{2}{3} \right)^n = 6 - 6 \left( \frac{2}{3} \right)^n$

$b_n = 6 \left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^n \right)$

これは $n=1$ のときも成り立つ。

$a_n = \frac{b_n}{2^n} = \frac{6 \left( 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^n \right)}{2^n} = 6 \left( \frac{1}{2^n} - \frac{2^n}{3^n} \cdot \frac{1}{2^n} \right) = 6 \left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} \right)$

$a_n = 6 \left( \left( \frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} - b_n = 2 \left( \frac{2}{3} \right)^n$

(2) $a_n = 6 \left( \left( \frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)$