$x \geq 0$ のとき、次の各関数の最小値を求めよ。 (a) $f(x) = x^2 - 2x + 6$ (b) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 9$ (c) $f(x) = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1$

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、次の各関数の最小値を求めよ。

(a) $f(x) = x^2 - 2x + 6$

(b) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 9$

(c) $f(x) = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1$

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = x^2 - 2x + 6$ の場合：

平方完成を行う。

$f(x) = (x - 1)^2 - 1 + 6 = (x - 1)^2 + 5$

$x \geq 0$ より、$x = 1$ のとき最小値をとる。

最小値は $f(1) = (1-1)^2 + 5 = 5$

(b) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 9$ の場合：

平方完成を行う。

$f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x) + 9 = \frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) + 9 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} + 9 = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{17}{2}$

$x \geq 0$ より、$x = 1$ のとき最小値をとる。

最小値は $f(1) = \frac{1}{2}(1 - 1)^2 + \frac{17}{2} = \frac{17}{2}$

(c) $f(x) = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1$ の場合：

微分して増減を調べる。

$f'(x) = 5x^2 - 3x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$5x^2 - 3x + 2 = 0$ の判別式は $D = (-3)^2 - 4(5)(2) = 9 - 40 = -31 < 0$ なので、$f'(x) = 0$ となる実数解は存在しない。

また、$f'(x) = 5x^2 - 3x + 2 = 5(x^2 - \frac{3}{5}x) + 2 = 5(x - \frac{3}{10})^2 - 5(\frac{9}{100}) + 2 = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20} + \frac{40}{20} = 5(x - \frac{3}{10})^2 + \frac{31}{20} > 0$

したがって、$f(x)$ は単調増加関数である。

$x \geq 0$ より、$x = 0$ のとき最小値をとる。

最小値は $f(0) = \frac{5}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(a) 最小値：5

(b) 最小値：$\frac{17}{2}$

(c) 最小値：1