問題は、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、 $3^{60}$ の最高位の数字を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、 $3^{60}$ の最高位の数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3^{60}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10} 3^{60} = 60 \log_{10} 3 = 60 \times 0.4771 = 28.626$

$\log_{10} 3^{60} = 28.626$ より、$3^{60} = 10^{28.626} = 10^{28} \times 10^{0.626}$ となります。

$10^{28}$ は位取りを表すので、最高位の数字は $10^{0.626}$ に依存します。

$\log_{10} 4 = \log_{10} 2^2 = 2 \log_{10} 2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$\log_{10} 5 = \log_{10} (10/2) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$0.6020 < 0.626 < 0.6990$ であるため、

$\log_{10} 4 < 0.626 < \log_{10} 5$ となります。

したがって、$4 < 10^{0.626} < 5$ であり、 $10^{0.626}$ の値は 4 と 5 の間にあることがわかります。

$10^{0.626}$ の小数部分は不明ですが、整数部分は4であることがわかります。

したがって、$3^{60}$ の最高位の数字は4です。

3. 最終的な答え

4