問題は、以下の2つの条件を満たす放物線の方程式を求めることです。 (1) 3点 $(1, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 9)$ を通る。 (2) x軸と2点 $(4, 0)$, $(1, 0)$ で交わり、y軸と $(0, -4)$ で交わる。 どちらの問題も、y軸に平行な軸を持つ放物線、つまり $y = ax^2 + bx + c$ の形式の放物線を対象としています。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの条件を満たす放物線の方程式を求めることです。

(1) 3点 $(1, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 9)$ を通る。

(2) x軸と2点 $(4, 0)$, $(1, 0)$ で交わり、y軸と $(0, -4)$ で交わる。

どちらの問題も、y軸に平行な軸を持つ放物線、つまり $y = ax^2 + bx + c$ の形式の放物線を対象としています。

2. 解き方の手順

(1) 3点 $(1, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 9)$ を通る放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の場合、これらの点を式に代入することで、a, b, c に関する連立方程式を立てて解きます。

$a(1)^2 + b(1) + c = 1$

$a(2)^2 + b(2) + c = 3$

$a(3)^2 + b(3) + c = 9$

つまり、

$a + b + c = 1$

$4a + 2b + c = 3$

$9a + 3b + c = 9$

この連立方程式を解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、$3a + b = 2$ 。

3番目の式から2番目の式を引くと、$5a + b = 6$ 。

さらに、$5a + b = 6$ から $3a + b = 2$ を引くと、$2a = 4$, したがって $a = 2$ 。

$3a + b = 2$ より、$3(2) + b = 2$, よって $b = 2 - 6 = -4$ 。

$a + b + c = 1$ より、$2 - 4 + c = 1$, よって $c = 1 - 2 + 4 = 3$ 。

したがって、$y = 2x^2 - 4x + 3$

(2) x軸と2点 $(4, 0)$, $(1, 0)$ で交わる放物線は、$y = a(x - 4)(x - 1)$ と表せます。y軸と $(0, -4)$ で交わることから、

$-4 = a(0 - 4)(0 - 1)$

$-4 = a(-4)(-1)$

$-4 = 4a$

$a = -1$

したがって、$y = -(x - 4)(x - 1) = -(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x + 3$

(2) $y = -x^2 + 5x - 4$