次の複素数の計算をせよ。 (1) $4+i+4+i$ (2) $(4+i)(4+\overline{i})$ (3) $(1+3i)(1-3i)$

代数学複素数複素数の計算加算乗算共役複素数
2025/5/27

1. 問題の内容

次の複素数の計算をせよ。
(1) 4+i+4+i4+i+4+i
(2) (4+i)(4+i)(4+i)(4+\overline{i})
(3) (1+3i)(13i)(1+3i)(1-3i)

2. 解き方の手順

(1) 実部と虚部をそれぞれ計算します。
4+i+4+i=(4+4)+(1+1)i=8+2i4+i+4+i = (4+4) + (1+1)i = 8 + 2i
(2) i=i\overline{i} = -i なので、(4+i)(4i)(4+i)(4-i)を計算します。
(4+i)(4i)=4×4+4×(i)+i×4+i×(i)(4+i)(4-i) = 4\times 4 + 4\times (-i) + i\times 4 + i\times (-i)
=164i+4ii2= 16 - 4i + 4i - i^2
i2=1i^2 = -1 なので、
=16(1)=16+1=17= 16 - (-1) = 16 + 1 = 17
(3) 複素数の積を計算します。
(1+3i)(13i)=1×1+1×(3i)+3i×1+3i×(3i)(1+3i)(1-3i) = 1\times 1 + 1\times (-3i) + 3i\times 1 + 3i\times (-3i)
=13i+3i9i2= 1 - 3i + 3i - 9i^2
i2=1i^2 = -1 なので、
=19×(1)=1+9=10= 1 - 9\times (-1) = 1 + 9 = 10

3. 最終的な答え

(1) 8+2i8+2i
(2) 1717
(3) 1010

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