次の複素数の計算をせよ。 (1) $4+i+4+i$ (2) $(4+i)(4+\overline{i})$ (3) $(1+3i)(1-3i)$

1. 問題の内容

次の複素数の計算をせよ。

(1) $4+i+4+i$

(2) $(4+i)(4+\overline{i})$

(3) $(1+3i)(1-3i)$

2. 解き方の手順

(1) 実部と虚部をそれぞれ計算します。

$4+i+4+i = (4+4) + (1+1)i = 8 + 2i$

(2) $\overline{i} = -i$ なので、$(4+i)(4-i)$を計算します。

$(4+i)(4-i) = 4\times 4 + 4\times (-i) + i\times 4 + i\times (-i)$

$= 16 - 4i + 4i - i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$= 16 - (-1) = 16 + 1 = 17$

(3) 複素数の積を計算します。

$(1+3i)(1-3i) = 1\times 1 + 1\times (-3i) + 3i\times 1 + 3i\times (-3i)$

$= 1 - 3i + 3i - 9i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$= 1 - 9\times (-1) = 1 + 9 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $8+2i$

(2) $17$

(3) $10$