複素数の相等に関する問題です。与えられた等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求めます。 (1) $(2x - y) + (x + 2y)i = -5$ (2) $(x - 2y) + (x + y)i = 1 + 7i$

代数学複素数複素数の相等連立方程式実数
2025/5/27

1. 問題の内容

複素数の相等に関する問題です。与えられた等式を満たす実数 xxyy の値を求めます。
(1) (2xy)+(x+2y)i=5(2x - y) + (x + 2y)i = -5
(2) (x2y)+(x+y)i=1+7i(x - 2y) + (x + y)i = 1 + 7i

2. 解き方の手順

(1) 複素数の相等より、実部と虚部がそれぞれ等しくなるので、以下の連立方程式が得られます。
2xy=52x - y = -5
x+2y=0x + 2y = 0
2つ目の式から x=2yx = -2y が得られます。これを1つ目の式に代入すると、
2(2y)y=52(-2y) - y = -5
4yy=5-4y - y = -5
5y=5-5y = -5
y=1y = 1
したがって、x=2y=2(1)=2x = -2y = -2(1) = -2
(2) 同様に、複素数の相等より、以下の連立方程式が得られます。
x2y=1x - 2y = 1
x+y=7x + y = 7
2つ目の式から x=7yx = 7 - y が得られます。これを1つ目の式に代入すると、
(7y)2y=1(7 - y) - 2y = 1
73y=17 - 3y = 1
3y=6-3y = -6
y=2y = 2
したがって、x=7y=72=5x = 7 - y = 7 - 2 = 5

3. 最終的な答え

(1) x=2x = -2, y=1y = 1
(2) x=5x = 5, y=2y = 2

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