立方体の各面に6種類の色を塗るとき、塗り方は何通りあるかを求める問題です。

## 問題6

1. 問題の内容

立方体の各面に6種類の色を塗るとき、塗り方は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

立方体の塗り方の総数を求める問題です。

まず、1つの面の色を固定します。すると、残りの5つの面の色の塗り方を考えればよいことになります。

立方体を回転させて同じになる塗り方は同じとみなします。

上面の色を固定した場合、下面の色の選び方が5通りあります。

次に、側面ですが、これは円順列として考えることができます。

残りの4つの側面は、(5-1)! = 4! = 24 通りの塗り方があります。

しかし、これは回転させたときに同じになるものを区別しているので、4で割る必要があります。

つまり、側面の塗り方は、 $4! / 4 = 3! = 6$ 通りとなります。

したがって、立方体の塗り方は、

$5 \times (4-1)! = 5 \times 3! = 5 \times 6 = 30$ 通りです。

3. 最終的な答え

30通り

## 問題8

1. 問題の内容

$(x+y+z)^{10}$ を展開したときの $x^5 y^3 z^2$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用します。

$(x+y+z)^{10}$ の展開における一般項は、

$$\frac{10!}{p!q!r!} x^p y^q z^r$$

で与えられます。ただし、$p+q+r=10$ を満たす非負整数 $p, q, r$ について考えます。

$x^5 y^3 z^2$ の係数を求めるので、$p=5$, $q=3$, $r=2$ となります。$5+3+2=10$ なので、これは条件を満たします。

したがって、$x^5 y^3 z^2$ の係数は、

$$\frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3 = 2520$$

となります。

3. 最終的な答え

2520

## 問題7

1. 問題の内容

与えられた図形の中に長方形がいくつあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

長方形は、縦の2本の線と横の2本の線を選ぶことで一意に定まります。

図は縦に4本、横に5本の線があります。

したがって、縦の2本の線の選び方は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

横の2本の線の選び方は ${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、長方形の総数は、

$6 \times 10 = 60$ 個となります。

3. 最終的な答え

60個